Nulpunten berekenen

De nulpunten berekenen  of laten uitrekenen met de Ti-nspire!

De snijpunten met de x-as, oftewel de nulpunten, moeten we altijd  bij een functie onderzoek berekenen.  De eerste methode is de algebraische methode.

1:   Een eerstegraads functie heeft één nulpunt.

Je kan de functie gelijkstellen aan nul en dan de  getallen naar rechts brengen.

Vb:

f(x) = 3x + 2

f(x)= 0

dus           3x+2 =0

3x=-2

x=-2/3         het nulpunt is dan (-2/3, 0)

2:     Een tweedegraads functie heeft nul, één of twee nulpunten.

Je kan de tweedegraadsfunctie gelijkstellen aan nul en dan altijd met de abc formule ( discriminant) oplossen.

D<0 betekent geen nulpunten, D=0 betekent één nulpunt en D<0 betekent twee nulpunten.

Vb:

f(x) = x2-6x-7

f(x) = 0

Dus                      x2-6x-7= 0

a=1, b=-6, c=-7 en de D=(-6)2-4*1*-7=64

x1= (6-8)/2=-1 en x2 = (6+8)/2=7

de nulpunten zijn dan (-1,0) en (7,0)

Dit had natuurlijk ook met de som product methode gekund.

3       Een derde en of zelfs vierde graads functie kunnen we met de regel van  Horner. Een derde graads functie kan één, twee of zelfs drie nulpunten hebben

De regel van Horner gebruik je om te kijken of een mogelijk nulpunt als deling rest nul heeft. Dan pas is het een echt nulpunt.

Wat zijn dan de mogelijke nulpunten van een derdegraads functie.  De laatste term van een derdegraads functie is meestal een getal. Alle delers van dit getal, zowel positief als negatief , kunnen nulpunten zijn. We moeten dit controleren door Horner toe te passen en te kijken of dat de rest precies nul is.

We kunnen natuurlijk ook het getal invullen en kijken of er nul uitkomt en dan met Horner de ontbinding uitvoeren.

Vb:

f(x) = x3+x2-10x+8

De delers van 8 zijn 1,2,4 en 8 en natuurlijk ook -1,-2,-4 en -8.

f(1)=0, f(2)=0, f(4)=48, f(8)= 504, f(-1)=18, f(-2)=24 etc

We kunnen nu Horner toepassen met x= 1, immers f(1)=0

1            1            -10          8

1                  1            2            -8

1            2            -8           0

Dus (1,0) is een nulpunt en x3+x2-10x+8 is te schrijven als

(x-1)(x2+2x-8)  : de tweede graads functie kunnen we natuurlijk weer verder ontbinden,  m.b.v. abc formule, in

(x-1)(x+4)(x-2)

Conclusie              f(x) = x3+x2-10x+8=(x-1)(x+4)(x-2)

Met als nulpunten (1,0)   , (-4,0) en (2,0).

De tweede methode is met de grafische rekenmachine. Deze heeft ook weer twee manieren.

Manier 1:            Beginscherm is rekenblad

Vul in:  solve(x3+x2-10x+8=0,x)  en de nulpunten verschijnen op het scherm, nl. x=-4, x=1 of x=2

Ook het ontbinden van de derdegraads vergelijking is mogelijk.

Factor( x3+x2-10x+8,x) en je krijgt meteen de ontbinding te zien nl. (x-1)(x+4)(x-2)

Manier 2:            Beginscherm is grafiekblad

Vul de functie in f(x) = x3+x2-10x+8

Stel evt het scherm aan met menu, venster, vensterinstellingen, ymin -20, y max , 30

Nu menu, grafiek analyseren, nulpunt, ondergrens aangeven met pijlentoets, bovengrens aangeven en op enter drukken en je krijgt vanzelf het punt te zien.