Kansberekening en statistiek

Kansen en tellen

De kans op een gebeurtenis is:

  • de relatieve frequentie van die gebeurtenis bij een kansexperiment (experimentele kans);
  • het aantal gunstige mogelijkheden gedeeld door het totaal aantal mogelijkheden (theoretische kans).

Voorbeelden:

  • Als 52% van de geboren baby’s een jongetje is, is de kans op de geboorte van een jongen 0,52.
  • Als X het totaal aantal ogen op twee dobbelstenen is, dan is de kans op het gooien van 8 ogen:
    P(X = 8) = 5/36.

De wet van de grote aantallen zegt dat de experimentele kans de theoretische kans steeds dichter zal benaderen als het experiment maar vaak genoeg wordt herhaald. Door simulaties van kansexperimenten kun je dat zelf nagaan.Bij het berekenen van kansen moet je mogelijkheden tellen. Bij het systematisch tellen gebruik je diagrammen:

  • een wegendiagram:
    In een wegendiagram vind je het aantal mogelijkheden door vermenigvuldigen.
  • een boomdiagram:
    In een boomdiagram kun je het aantal mogelijkheden tellen.
  • een kansendiagram:
    In een kansendiagram moet je de kansen binnen een spoor vermenigvuldigen en kansen van verschillende sporen optellen.

In enkele bijzondere situaties zijn andere diagrammen handig.

Vaak kun je mogelijkheden snel tellen door te werken met machten of faculteiten.
Voorbeelden:

  • Gebruik van machten:
    Je hebt de letters a, b, c, d, e, f en g en je maakt vier-letter-woorden. Er mogen ook gelijke letters in het woord voorkomen.
    Er zijn dan: 7 · 7 · 7 · 7 = 74 mogelijkheden.
  • Gebruik van faculteiten:
    Je hebt de letters a, b, c, d, en e en je maakt vier-letter-woorden. Er mogen geen gelijke letters in het woord voorkomen.
    Er zijn dan: 7 · 6 · 5 · 3 = 7!/2! mogelijkheden.
  • Gebruik van combinaties:
    Je hebt de letters a en b en je maakt tien-letter-woorden bestaande uit 3 a’s en 7 b’s.
    Er zijn dan: 10!/7!/3! = 10!/(7! · 3!) mogelijkheden.


Kansrekening

Regels voor kansrekening

Als A en B twee gebeurtenissen zijn, dan is:

  • P(A) = 0 als A niet voorkomt (en idem voor B);
  • P(A) = 1 als A zeker is (en idem voor B);
  • 0 < P(A) < 1 als A wel voorkomt, maar niet zeker is (en idem voor B);
  • complementregel: P(niet A) = 1 – P(A) (en idem voor B);
  • somregel: P(A of B) = P(A) + P(B) – P(A en B);
  • productregel: P(A en B) = P(A) · P(B | A).

Hierin is P(B | A) de kans op gebeurtenis B, terwijl gebeurtenis A al heeft plaatsgevonden. Dat heet een voorwaardelijke kans. Deze kans is ongelijk aan 0 als B afhankelijk is van A. Dat is met name het geval bij situaties van ‘aselecte trekking zonder teruglegging’ (loop het vaasmodel nog even door).

Belangrijke gevolgen van deze regels:

  • Als A en B elkaar wederzijds uitsluiten, dan is P(A en B) = 0.
    Dan is: P(A of B) = P(A) + P(B).
  • Als A en B onafhankelijk zijn, dan is P(B | A) = P(B).
    Dan is: P(A en B) = P(A) · P(B).


Statistiek

 

Overzicht belangrijkste begrippen zonder klassenindeling

  • Frequentietabel.
    waarnemingsgetal = één van de getallen die worden geteld
    frequentie = aantal malen dat een getal voorkomt
    relatieve frequentie = frequentie gedeeld door totaal aantal
  • Modus en variatiebreedte.
    modus = getal met hoogste frequentie
    variatiebreedte = grootste getal – kleinste getal
  • Mediaan, kwartielen en boxplot.
    mediaan = middelste getal (eerst rangschikken van klein naar groot)
    Q1 = eerste kwartiel = mediaan eerste helft
    Q3 = derde kwartiel = mediaan tweede helft

    Hierbij hoort het boxplot.

  • Gemiddelde en standaarddeviatie (standaardafwijking).
    gemiddelde: m = (getallen · frequentie optellen) / aantal getallen
    standaarddeviatie: s = maat voor afwijking van het gemiddelde
    [Je berekent de variantie door van elk getal het verschil met het gemiddelde te bepalen, de uitkomst te kwadrateren en dan al die uitkomsten vermenigvuldigd met de bijbehorende frequenties op te tellen en de delen door het totaal aantal getallen. De wortel uit de variantie is de standaarddeviatie.]
    . Gemiddelde en standaardafwijking zijn als centrummaat en spreidingsmaat vooral zinvol bij ‘klokvormige’ frequentieverdelingen zoals de normale verdeling. Op de grafische rekenmachine wordt het gemiddelde meestal aangegeven door een x met een streepje er boven.
  • Histogram en frequentiepolygoon.
    histogram = diagram waarin de frequenties verticaal zijn uitgezet tegen de waarnemingsgetallen, in een cumulatief histogram worden de frequentiestaafjes gestapeld.
    frequentiepolygoon = lijndiagram dat de middens van de bovenkanten van de staafjes van het histogram met elkaar verbindt, in een cumulatief frequentiepolygoon worden de rechter bovenkanten van de staafjes van een cumulatief histogram met elkaar verbonden!
  • Overzicht belangrijkste begrippen met klassenindeling

    • Frequentietabel.
      klasse = aaneengesloten getallen interval, notatie b.v. 1 -< 5
      klassenbreedte = de breedte van een klasse (maak alle klassen even breed!), bij klasse 1 -< 5 is de klassenbreedte 4
      klassenmidden = middelste getal in de klasse, bij klasse 1 -< 5 is het klassenmidden 3.
      waarnemingsgetal = één van de getallen die worden geteld en in een klasse worden ondergebracht
      frequentie = aantal getallen in de klasse
      relatieve frequentie = frequentie gedeeld door totaal aantal
    • Modale klasse en variatiebreedte.
      modale klasse = klasse met hoogste frequentie
      variatiebreedte = aantal klassen · klassenbreedte
    • Mediaan, kwartielen en boxplot.
      Hebben hier eigenlijk geen betekenis, je kunt alleen uitzoeken in welke klasse de mediaan zit en eventueel m.b.v. interpoleren mediaan, eerste en derde kwartiel schatten.
    • Gemiddelde en standaarddeviatie (standaardafwijking).
      gemiddelde: m = (klassemidden · frequentie optellen) / aantal getallen
      standaarddeviatie: s = maat voor afwijking van het gemiddelde
      [Je berekent s met de hand op dezelfde wijze als bij een frequentieverdeling zonder klassenindeling. Alleen werk je nu met de klassemiddens.]
      Gemiddelde en standaardafwijking zijn als centrummaat en spreidingsmaat vooral zinvol bij ‘klokvormige’ frequentieverdelingen zoals de normale verdeling. Op de grafische rekenmachine wordt het gemiddelde meestal aangegeven door een x met een streepje er boven.
    • Histogram en frequentiepolygoon.
      histogram = diagram waarin de frequenties verticaal zijn uitgezet tegen de klassen, in een cumulatief histogram worden de frequentiestaafjes gestapeld. frequentiepolygoon = lijndiagram dat de middens van de bovenkanten van de staafjes van het histogram met elkaar verbindt, in een cumulatief frequentiepolygoon worden de rechter bovenkanten van de staafjes van een cumulatief histogram met elkaar verbonden!
  • Leave a Reply

    Your email address will not be published. Required fields are marked *