Stereometrie

Ruimtemeetkunde

Onderlinge ligging van punten, lijnen en vlakken

Een punt kan:

  • op een lijn liggen;
  • in een vlak liggen.

Een lijn (= rechte lijn) kan:

  • een andere lijn snijden (één snijpunt);
  • een andere lijn kruisen (geen snijpunt, maar ook niet parallel);
  • evenwijdig (parallel) lopen met een andere lijn;
  • een vlak snijden (één snijpunt);
  • een vlak loodrecht snijden (de lijn is dan een normaal van het vlak, het vlak een normaalvlak van de lijn);
  • geheel in een vlak liggen.

Een vlak kan:

  • een ander vlak snijden (één snijlijn);
  • evenwijdig (parallel) lopen met een ander vlak.

Drie-vlakken-stelling:
Drie vlakken kunnen:

  • geen snijlijn hebben (als ze alle drie evenwijdig zijn);
  • één snijlijn hebben;
  • twee snijlijnen hebben die dan evenwijdig zijn (als twee van de drie vlakken evenwijdig lopen);
  • drie snijlijnen die of evenwijdig zijn, of alle drie door één punt gaan.

De drie-vlakken-stelling gebruik je steeds bij het construeren van doorsneden. Neem de twee voorbeelden in het informatieboek havo NT2 (par.5.4) nog eens door!

Coördinaten in de ruimte

Hier zie je een ruimtelijk coördinatenstelsel met de punten A(1,2,3) en B(-2,3,1).

Afstanden in de ruimte

De afstand tussen twee figuren is de lengte van hun kortste verbindingslijnstuk. In de volgende gevallen moet je die afstand kunnen berekenen:

  • De afstand tussen twee punten bereken je met de SvP.
    De afstand tussen A en B is:
  • De afstand van een punt tot een lijn is de lengte van het loodlijnstuk vanuit dat punt op de lijn.
    De afstand van bijvoorbeeld de oorsprong O tot lijn AB bereken je door in driehoek OAB de hoogtelijn vanuit O op zijde AB te berekenen. Je rekent dan met de SvP eerst de drie zijden uit, dan met de cosisnusregel bijvoorbeeld hoek OAB en vervolgens met goniometrie de hoogtelijn.
  • De afstand van een punt tot een vlak is de lengte van het loodlijnstuk vanuit dat punt op het vlak.
    Je kunt dit alleen berekenen als je een vlak kunt vinden door het gegeven punt en loodrecht op het gegeven vlak. Daarin kun je dan het loodlijnstuk tekenen, loodrecht op de snijlijn van beide vlakken (vaak als hoogtelijn van een driehoek!).
  • De afstand tussen twee kruisende lijnen is de lengte van het verbindingslijnstuk dat loodrecht op beide lijnen staat.
    Je bepaalt deze afstand door een vlak te zoeken waar de éne lijn in ligt en dat evenwijdig is aan de andere lijn. Je neemt dan een punt van de éne lijn en berekent de afstand tot het gevonden vlak (als vorige geval!).
  • De afstand van twee evenwijdige lijnen is de lengte van het loodlijnstuk vanuit een punt op de éne lijn op de andere lijn.
  • De afstand van twee evenwijdige vlakken is de lengte van het loodlijnstuk vanuit een punt op het éne vlak op het andere vlak.

Hoeken in de ruimte

Hoeken bereken je in het algemeen met behulp van goniometrie, de sisnusregel en/of de cosinusregel. Met name die laatste regel is nuttig, want vaak kun je wel een driehoek vinden waar de hoek in zit en waarvan je de drie zijden kunt berekenen.

  • De hoek tussen twee snijdende lijnen is de scherpe hoek bij het snijpunt.
  • Om de hoek tussen twee kruisende lijnen te berekenen verschuif je de éne lijn evenwijdig met zichzelf, net zo lang tot hij de andere lijn snijdt. Die verschoven lijn maakt dan een scherpe hoek met de andere lijn. Deze hoek is dan ook de hoek tussen de twee kruisende lijnen.
  • De hoek tussen een lijn en een vlak is de scherpe hoek tussen de lijn en zijn projectie op het vlak.
  • Om de hoek tussen twee vlakken te berekenen, zoek (teken) je eerst een standvlak loodrecht op hun snijlijn. Dat standvlak snijdt beide vlakken en de gevraagde hoek is de hoek tussen de twee snijlijnen van het standvlak met de gegeven vlakken.

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *